Question

已知函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1，則f（2014）的值為（　�。�

• A、-2
• B、-1
• C、0
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，得f（x）=f（2-x），又f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，則f（x）=-f（x-2），由此可推得函數(shù)的周期為4，借助周期性及已知表達(dá)式可求得答案．

解答： 解：∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（x）=f（2-x），
又f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（x-2），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），即4為f（x）的周期，
∴f（2014）=f（4×503+2）=f（2）=f（0），
又∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1，
∴f（0）=0，
故f（2014）=0，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性及其應(yīng)用，考查抽象函數(shù)值的求解，屬中檔題．