Question

1．己知數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若數(shù)列{c_n}滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以（c_n，T_n）（n∈N^*）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay=$\frac{a}{2}$x²+$\frac{a}{2}$x+b，（a為非0常數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，則稱數(shù)列{c_n}為“拋物數(shù)列”，己知數(shù)列{b_n}為“拋物數(shù)列”，則（　�。�

• A． {b_n}一定為等比數(shù)列
• B． {b_n}一定為等差數(shù)列
• C． 從第二項(xiàng)起{b_n}一定為等比數(shù)列
• D． 從第二項(xiàng)起{b_n}一定為等差數(shù)列

Answer 1

分析 以（c_n，T_n）（n∈N^*）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay=$\frac{a}{2}$x²+$\frac{a}{2}$x+b，（a為非0常數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，可得T_n=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$，當(dāng)n=1時(shí)，c₁=T₁，c₁＞0，解得c₁=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=T_n-T_n-1，化為：（c_n+c_n-1）（c_n-c_n-1-1）=0，可得c_n-c_n-1=1，對(duì)b分類討論，即可判斷出．

解答 解：∵以（c_n，T_n）（n∈N^*）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay=$\frac{a}{2}$x²+$\frac{a}{2}$x+b，（a為非0常數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，
∴T_n=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$，
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=T₁=$\frac{1}{2}{c}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{1}$+$\frac{a}$，c₁＞0，解得c₁=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=T_n-T_n-1=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$-$（\frac{1}{2}{c}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}+\frac{a}）$，化為：（c_n+c_n-1）（c_n-c_n-1-1）=0，
∵c_n+c_n-1＞0，
∴c_n-c_n-1=1，
當(dāng)b=0時(shí)，數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
當(dāng)b≠0，$1-\frac{8b}{a}$≥0時(shí)，數(shù)列{c_n}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，首項(xiàng)為c₂=2，公差為1．
綜上可得：數(shù)列{c_n}從第二項(xiàng)起一定為等差數(shù)列．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．