1.己知數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,若數(shù)列{cn}滿足各項均為正項,并且以(cn,Tn)(n∈N*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay=$\frac{a}{2}$x2+$\frac{a}{2}$x+b,(a為非0常數(shù))上運(yùn)動,則稱數(shù)列{cn}為“拋物數(shù)列”,己知數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”,則( 。
A.{bn}一定為等比數(shù)列B.{bn}一定為等差數(shù)列
C.從第二項起{bn}一定為等比數(shù)列D.從第二項起{bn}一定為等差數(shù)列

分析 以(cn,Tn)(n∈N*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay=$\frac{a}{2}$x2+$\frac{a}{2}$x+b,(a為非0常數(shù))上運(yùn)動,可得Tn=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$,當(dāng)n=1時,c1=T1,c1>0,解得c1=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$;
當(dāng)n≥2時,cn=Tn-Tn-1,化為:(cn+cn-1)(cn-cn-1-1)=0,可得cn-cn-1=1,對b分類討論,即可判斷出.

解答 解:∵以(cn,Tn)(n∈N*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay=$\frac{a}{2}$x2+$\frac{a}{2}$x+b,(a為非0常數(shù))上運(yùn)動,
∴Tn=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$,
當(dāng)n=1時,c1=T1=$\frac{1}{2}{c}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{1}$+$\frac{a}$,c1>0,解得c1=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$.
當(dāng)n≥2時,cn=Tn-Tn-1=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{a}$-$(\frac{1}{2}{c}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}+\frac{a})$,化為:(cn+cn-1)(cn-cn-1-1)=0,
∵cn+cn-1>0,
∴cn-cn-1=1,
當(dāng)b=0時,數(shù)列{cn}為等差數(shù)列,首項為1,公差為1.
當(dāng)b≠0,$1-\frac{8b}{a}$≥0時,數(shù)列{cn}從第二項起為等差數(shù)列,首項為c2=2,公差為1.
綜上可得:數(shù)列{cn}從第二項起一定為等差數(shù)列.
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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