Question

19．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足a＜x＜3a，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足x²-5x+6＜0．
（1）若a=1且命題p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若q是p的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 記命題p：x∈A，命題q：x∈B
（1）由a=1時(shí)，求出A，B；通過p∧q為真，p，q均為真命題，求出則x的取值范圍是（2，3）．
（2）求出A=（a，3a），B=（2，3），利用q是p的充分條件列出不等式$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3a≥3\end{array}\right.$，求解即可．

解答 記命題p：x∈A，命題q：x∈B
（1）由a=1時(shí)，A={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜3}…（2分）
因?yàn)閜∧q為真，所以p，q均為真命題，…（4分）
則x∈A∩B…（6分）
所以x的取值范圍是（2，3）…（7分）
（2）A=（a，3a），B=（2，3）
因?yàn)閝是p的充分條件
所以知集合B⊆A…（10分）
則$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3a≥3\end{array}\right.$，…（13分）
解得1≤a≤2，綜上所述：a的取值范圍是[1，2]…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，充要條件以及復(fù)合命題的真假，是基本知識(shí)的考查．