Question

8．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB，D，E分別是AB，BB₁的中點．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求證：CD⊥平面ABB₁A₁；
（3）設(shè)AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，求E到截面A₁DC的距離d．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁交A₁C于點F，證明BC₁∥DF，然后證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）說明AA₁⊥CD，CD⊥AB，然后證明CD⊥平面ABB₁A₁．
（3）法1：說明DE⊥A₁D，然后求出${V}_{C-{DEA}_{1}}$，通過${V}_{E-{DCA}_{1}}={V}_{C-DE{A}_{1}}$，求解距離．
法2：判斷ED為E到平面A₁CD的距離，通過Rt△DBE中，求解ED即可．

解答 證明：（1）連接AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁的中點，…（1分）
又D是AB的中點，連接DF，則BC₁∥DF．…（2分）
∵DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD…（3分）
∴BC₁∥平面A₁CD                 …（4分）
（2）∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，…（5分）
∵CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD，…（6分）
由已知AC=CB，D為AB的中點，∴CD⊥AB，…（7分）
又AA₁∩AB=A，于是CD⊥平面ABB₁A₁，…（8分）
（3）由AA₁=AC=CB=2，AB=$2\sqrt{2}$得
∠ACB=90°，CD=$\sqrt{2}$，A₁D=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{3}$，A₁E=3，
故A₁D²+DE²=A₁E²，DE⊥A₁D，…（9分）
∴${V}_{C-{DEA}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=1$…（10分）
又CD⊥A₁D，∴△A₁DC為直角三角形，…（11分）
∴${V}_{E-{DCA}_{1}}={V}_{C-DE{A}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}•d=1$，∴$d=\sqrt{3}$…（12分）
法2：∵CD⊥平面ABB₁A₁，且CD?平面A₁DC．
∴平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．…（10分）
∵平面A₁CD∩平面ABB₁A₁=DA₁且ED⊥DA₁
∴ED⊥平面A₁CD，∴ED為E到平面A₁CD的距離…（11分）
在Rt△DBE中，ED=$\sqrt{D{B^2}+B{E^2}}=\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行與垂直的判斷，幾何體的體積的求法，距離的求法，考查計算能力．