Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個最低點為M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解（1）由最低點為M（$\frac{2π}{3}$，-2），可得A=2．
由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2．
由點M（$\frac{2π}{3}$，-2）在圖象上，可得2sin（2•$\frac{2π}{3}$+φ）=-2，即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
故 $\frac{4π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得 kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，故當(dāng) 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2；
故當(dāng) 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）取得最小值為-1．
故f（x）的值域為[-1，2]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．