Question

12．已知三棱錐S-ABC所在頂點都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，則球O的表面積為5π．

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．

解答 解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的外接圓直徑2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，
∴r=1，
∵SC⊥面ABC，SC=1，三角形OSC為等腰三角形，
∴該三棱錐的外接球的半徑R=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=5π．
故答案為：5π．

點評 本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．