Question

7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|2x-2|+1，g（x）=x²+2x-$\frac{1}{2}$．
（1）解不等式f（x）≥3-x；
（2）若對?x∈R，$\frac{1}{2}$f（x）+|x+1|＞g（m）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≥3-x，即|2x-2|≥2-x，即2x-2≥2-x 或2x-2≤x-2，由此求得x的范圍．
（2）由題意可得等價于|x-1|+|x+1|≥m²+2m-$\frac{1}{2}$恒成立，可得|x-1|+|x+1|的最小值2≥m²+2m-$\frac{1}{2}$，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）≥3-x，即|2x-2|+1≥3-x，即|2x-2|≥2-x，
∴2x-2≥2-x 或2x-2≤x-2，∴x≥$\frac{4}{3}$ 或x≤0，故原不等式的解集為{x|x≥$\frac{4}{3}$ 或x≤0}．
（2）對?x∈R，$\frac{1}{2}$f（x）+|x+1|＞g（m），等價于|x-1|+|x+1|≥m²+2m-$\frac{1}{2}$恒成立．
根據(jù)絕對值的意義，|x-1|+|x+1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1、-1的距離之和，它的最小值為2，
可得2≥m²+2m-$\frac{1}{2}$，求得-3＜m＜1．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．