Question

6．某人的一串鑰匙有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，當(dāng)他隨意地試用這串鑰匙時(shí)，求：打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，假定．
（1）把每次試用過的鑰匙分開；
（2）把每次試用過的鑰匙再混雜在這串鑰匙中．

Answer 1

分析 （1）由已知得打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)X的可能取值為1，2，…，n，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差．
（2）由已知得打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)X的可能取值為1，2，…，n，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差．

解答 解：（1）由已知得打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)X的可能取值為1，2，…，n，
P（X=i）=$\frac{1}{n}$，i=0，1，2，…，n-1，
∴X的數(shù)學(xué)期望EX=（1+2+3+…+n）×$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{2}$，
EX²=$\sum_{i=1}^{n}$i²$•\frac{1}{n}$=$\frac{（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴X的方差為DX=EX²-（EX）²=$\frac{{n}^{2}-1}{12}$．
（2）由已知得打開門時(shí)已被試用過的鑰匙數(shù)X的可能取值為1，2，…，n，
P（X=k）=（$\frac{n-1}{n}$）^k-1$•\frac{1}{n}$，k=1，2，…
EX=$\sum_{k=1}^{∞}$k•$（\frac{n-1}{n}）^{k-1}$•$\frac{1}{n}$=n，
EX²=$\sum_{k=1}^{∞}{k}^{2}$•$（\frac{n-1}{n}）^{k-1}$•$\frac{1}{n}$=2n²-n，
DX=（EX）²-EX²=n（n-1）．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差性質(zhì)的合理運(yùn)用．