Question

16．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為圓M：x²+y²-4x=0的圓心，直線l與拋物線C的準(zhǔn)線和y軸分別交于點(diǎn)P、Q，且P、Q的縱坐標(biāo)分別為3t-$\frac{1}{t}$、2t（t∈R，t≠0）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求證：直線l恒與圓M相切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用焦點(diǎn)為圓M：x²+y²-4x=0的圓心求出p值即可求出拋物線C的方程；
（Ⅱ）先求出直線PQ的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可證明直線PQ恒與圓M相切．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），
因?yàn)榻裹c(diǎn)為圓M：x²+y²-4x=0的圓心，所以p=4，
因此拋物線C的方程為y²=8x；（4分）
（Ⅱ）由題意可知，P（-2，3t-$\frac{1}{t}$），Q（0，2t），
則直線PQ方程為：y-2t=$\frac{2t-（3t-\frac{1}{t}）}{2}$x，
即（t²-1）x+2ty-4t²=0，
圓心M（2，0）到直線PQ的距離$\frac{2{t}^{2}+2}{\sqrt{（{t}^{2}-1）^{2}+4{t}^{2}}}$=2，
因此直線l恒與圓M相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，直線與圓相切，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．