Question

5．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|，MF₂|=2$\sqrt{2}$，
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F₁，經(jīng)過點F₂的直線l與該圓相切于點M，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的左、右焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由A（a，0），B（0，b），由兩點的距離公式．可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2c，再利用b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$即可得出；
（2）根據(jù)（1）中a和c的關(guān)系，用c表示出橢圓的方程，設(shè)出P點的坐標，根據(jù)PB為直徑，推斷出BF₁⊥PF₁，進而知向量數(shù)量積為0，表示出P點坐標，利用P，B求得圓心坐標，則可利用兩點間的距離公式分別表示出|TB|，|TF₂|，利用勾股定理建立等式求得c，則橢圓的方程可得．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點為F₂（c，0），
由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|，可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2c，
化為a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，∴a²=2c²．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）可得b²=c²．因此橢圓方程設(shè)為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1．
設(shè)P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），
可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₀+c，y₀），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（c，c）．
由題意可得，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=c（x₀+c）+cy₀=0，
∴x₀+y₀+c=0，①
∵點P在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}$=1．②
聯(lián)立①②，化為3x₀²+4cx₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=-$\frac{4}{3}$c，
代入x₀+y₀+c=0，可得y₀=$\frac{1}{3}$c．
∴P（-$\frac{4}{3}$c，$\frac{c}{3}$）．
設(shè)圓心為T（x₁，y₁），
則x₁=$\frac{-\frac{4}{3}c+0}{2}$=-$\frac{2}{3}$c，y₁=$\frac{\frac{1}{3}c+c}{2}$=$\frac{2}{3}$c．
∴T（-$\frac{2}{3}$c，$\frac{2}{3}$c），
∴r=|TB|=$\sqrt{\frac{4}{9}{c}^{2}+\frac{1}{9}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$c，
|TF₂|=$\sqrt{\frac{25{c}^{2}}{9}+\frac{4{c}^{2}}{9}}$=$\frac{\sqrt{29}}{3}$c，
∵r²+|MF₂|²=|TF₂|²，
∴$\frac{5{c}^{2}}{9}$+8=$\frac{29}{9}$c²，
∴c²=3，
∴a²=6，b²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓相切問題、點到直線的距離公式、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．