Question

15．已知圓C與x軸的交點分別為A（-1，0），B（3，0），且圓心在直線2x-y=0上．
（I）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）求與圓C相切于點B（3，0）的切線方程；
（Ⅲ）若圓C與直線y=x+m有公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設(shè)圓心C（a，2a），利用圓C與x軸的交點分別為A（-1，0），B（3，0），求出a，即可求圓C的標準方程；
（Ⅱ）因為CB與切線垂直，所以k_BC•k=-1，求出k，即可求與圓C相切于點B（3，0）的切線方程；
（Ⅲ）若圓C與直線y=x+m有公共點，則圓C的圓心到直線的距離d≤r，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 因為圓C的圓心在直線2x-y=0上，所以設(shè)圓心C（a，2a）．…（1分）
又因為圓C與x軸的交點分別為A（-1，0），B（3，0），所以a=1…（2分）
故圓心C（1，2），半徑為$2\sqrt{2}$，…（4分）
圓C的標準方程為（x-1）²+（y-2）²=8…（5分）
（Ⅱ）因為CB與切線垂直，所以k_BC•k=-1…（7分）
因為 ${k_{BC}}=\frac{2-0}{1-3}=-1$，所以  k=1…（8分）
故與圓C相切于點B（3，0）的切線方程為：x-y-3=0…（10分）
（Ⅲ）圓C與直線y=x+m有公共點，
即圓C的圓心到直線的距離d≤r，…（11分）
即 $\frac{|1-2+m|}{{\sqrt{2}}}≤2\sqrt{2}$，…（13分）
解得-3≤m≤5
所以圓C與直線y=x+m有公共點，則-3≤m≤5．…（14分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．