Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x}$（a＞0）．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）單調(diào)性；
（2）若a=2，當(dāng)x∈[1，4]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$（a＞0），
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（2）a=2時，f（x）=x+$\frac{2}{x}$，由（1）得：
f（x）在[1，$\sqrt{2}$）遞減，在（$\sqrt{2}$，4]遞增，
而f（1）=3，f（4）=$\frac{9}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最大值是$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．