Question

20．如果函數(shù)y=$\frac{x+1}{x+a}$在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)定義域和導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)數(shù)列出不等式解出．

解答 解：方法一：y′=$\frac{x+a-（x+1）}{（x+a）^{2}}$=$\frac{a-1}{（x+a）^{2}}$，
∵函數(shù)y=$\frac{x+1}{x+a}$在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)，∴y′＜0，
∴a＜1．
∵函數(shù)y=$\frac{x+1}{x+a}$的定義域?yàn)閧x|x≠-a}，
∴-a≤-$\frac{1}{2}$，∴a≥$\frac{1}{2}$．
綜上，a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．
方法二：y=$\frac{x+a-a+1}{x+a}$=1+$\frac{1-a}{x+a}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-a），（-a，+∞）．
∵函數(shù)y=$\frac{x+1}{x+a}$在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{-a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤$a＜1．
∴a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．