Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$=0，直線1與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)．
（1）求弦OP的中點(diǎn)M的軌跡的直角坐標(biāo)方程．
（2）求點(diǎn)P到直線AB距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1化為（x-1）²+y²=1．設(shè)弦OP的中點(diǎn)M（x，y），則P（2x，2y），代入曲線C的方程j即可得出．
（2）直線1的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$=0，展開(kāi)為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$+$\sqrt{2}$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標(biāo)方程．圓心C（1，0）到直線l的距離d，則點(diǎn)P到直線AB距離的最小值為d-r．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為（x-1）²+y²=1．
設(shè)弦OP的中點(diǎn)M（x，y），則P（2x，2y），代入曲線C的方程可得：（2x-1）²+（2y）²=1．
（2）直線1的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$=0，展開(kāi)為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$+$\sqrt{2}$=0，化為：x+y+2=0．
圓心C（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|1+0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴點(diǎn)P到直線AB距離的最小值為d-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．