Question

8．若方程（x-1）⁴+mx-m-2=0各個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_k（k≤4，k∈N^*）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$（{x_i}，\frac{2}{{{x_i}-1}}）$，（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-1，7）
• B． （-∞，-7）∪（-1，+∞）
• C． （-7，1）
• D． （-∞，1）∪（7，+∞）

Answer 1

分析 原方程等價(jià)于（x-1）³+m=$\frac{2}{x-1}$，原方程的實(shí)根是曲線y=（x-1）³+m與曲線y=$\frac{2}{x-1}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象：分m＞0與m＜0討論，可得答案．

解答 解：方程的根顯然x≠1，原方程等價(jià)于（x-1）³+m=$\frac{2}{x-1}$，
原方程的實(shí)根是曲線y=（x-1）³+m與曲線y=$\frac{2}{x-1}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而曲線y=（x-1）³+m是由曲線y=（x-1）³向上或向下平移|m|個(gè)單位而得到的，
若交點(diǎn)（xi，$\frac{2}{{x}_{i}-1}$）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，
因直線y=x與y=$\frac{2}{x-1}$交點(diǎn)為：（-1，-1），（2，2）；
所以結(jié)合圖象可得，

由（2-1）³+m=2，解得：m=1，
由（-1-1）³+m=-1，解得：m=7
∴m＜1或m＞7，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了反比例函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)