Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}$-3x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=0時(shí)，y=f（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-3x，f′（x）=2x²-3，可得f′（3）即為切線地方斜率，又f（3）=9，利用點(diǎn)斜式即可得出切線的方程；
（II）當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2x²-4ax-3，△=16a²+24＞0，由f′（x）=0，解得x₁=$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＜0，${x}_{2}=\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＞1．由x₁＞-1，解得$a＞\frac{1}{4}$，對(duì)a分類討論即可得出函數(shù)的極值情況．
（III）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立?$a≥\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$（x＞0）．令g（x）=$\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（I）當(dāng)a=0時(shí)，y=f（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-3x，
f′（x）=2x²-3，∴f′（3）=15，
f（3）=9，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為y-9=15（x-3），化為15x-y-36=0．
（II）當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2x²-4ax-3，△=16a²+24＞0，
由f′（x）=0，解得$x=\frac{2a±\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$．取x₁=$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＜0，${x}_{2}=\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＞1．
由x₁＞-1，解得$a＞\frac{1}{4}$．
因此，當(dāng)a＞$\frac{1}{4}$時(shí)，由f′（x）=0，解得x=x₁，
∴當(dāng)a$＞\frac{1}{4}$時(shí)，當(dāng)x∈（-1，x₁）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（x₁，0）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
此時(shí)函數(shù)f（x）取得極大值，只有一個(gè)．
當(dāng)0$＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)．
綜上可得：當(dāng)a＞$\frac{1}{4}$時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)取得一個(gè)極大值．
當(dāng)0$＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)．
（III）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立?$a≥\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$（x＞0）．
令g（x）=$\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$，x＞0，g′（x）=$\frac{3-2lnx}{2{x}^{3}}$，
令g′（x）＞0，解得$0＜x＜{e}^{\frac{3}{2}}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得$x＞{e}^{\frac{3}{2}}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=${e}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值，g（x）_max=$\frac{\frac{3}{2}-1}{2{e}^{3}}$=$\frac{1}{4{e}^{3}}$．
∴$a≥\frac{1}{4{e}^{3}}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{4{e}^{3}}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．