Question

11．期中考試后，某教師對其所教的甲、乙兩個班的學生試卷進行卷面分析．已知甲、乙兩班成績在80分以上的學生分別有20人和16人，現(xiàn)用分層抽樣法從甲、乙兩班成績在80分以上的學生中抽取9人進行分析．
（I）若從所抽取的9人中任選4人進行運算錯誤分析，求這4人不是同一個班的概率；
（Ⅱ）若從所抽取的9人中任選3人進行題意理解錯誤分析，記這3人中乙班的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由分層抽樣性質(zhì)得甲班抽取5人，乙班抽取4人，從所抽取的9人中任選4人進行運算錯誤分析，利用對立事件概率計算公式能求出這4人不是同一個班的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由分層抽樣性質(zhì)得甲班抽取人數(shù)為：$20×\frac{9}{20+16}$=5，
乙班抽取人數(shù)為：16×$\frac{9}{20+16}$=4，
∴從所抽取的9人中任選4人進行運算錯誤分析，這4人不是同一個班的概率：
p=1-$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$-$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{20}{21}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{10}{84}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{40}{84}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{30}{84}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{4}{84}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{10}{84}$	$\frac{40}{84}$	$\frac{30}{84}$	$\frac{4}{84}$

EX=$0×\frac{10}{84}+1×\frac{40}{84}+2×\frac{30}{84}+3×\frac{4}{84}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．