Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2016π），則函數(shù)f（x）的各極小值之和為（　　）

• A． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{2016π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• B． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{1008π}}）}}{{1-{e^π}}}$
• C． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{1008π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• D． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{2014π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$

Answer 1

分析 先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而找到其極小值f（2kπ+2π）=e^2kπ+2π，再利用等比數(shù)列的求和公式來求函數(shù)f（x）的各極小值之和即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）時，f′（x）＞0，
∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時原函數(shù)遞減，
x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）時，函數(shù)f（x）遞增，
故當(dāng)x=2kπ+2π時，f（x）取極小值，
其極小值為f（2kπ+2π）=e^2kπ+2π[sin（2kπ+2π）-cos（2kπ+2π）]
=e^2kπ+2π×（0-1）=-e^2kπ+2π，
又0≤x≤2016π，
∴函數(shù)f（x）的各極小值之和S=-e^2π-e^4π-e^6π-…-e^2012π-e^2014π-e^2016π
=$\frac{-{e}^{2π}[1-（{e}^{2π}）^{1008}]}{1-{e}^{2π}}$=-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2016π}）}{1-{e}^{2π}}$．
故選：A．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列的求和．利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x=2kπ+2π時，f（x）取極小值是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值是教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握，屬于中檔題．