Question

1．如圖，屋頂?shù)臄嗝鎴D是等腰三角形ABC，其中AB=BC，橫梁AC的長(zhǎng)為定值2l，試問(wèn)：當(dāng)屋頂面的傾斜角α為多大時(shí)，雨水從屋頂（頂面為光滑斜面）上流下所需A的時(shí)間最短？

Answer 1

分析 根據(jù)物體受力分析知，在豎直方向有F=mgsinα=ma得a=gsinα，在RT△ABD中利用屋面與傾斜角的關(guān)系，可得時(shí)間關(guān)系式，利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)后，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出t的最小值對(duì)應(yīng)α的值．

解答 解：由圖可得∠BAC=α，設(shè)AB=s，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，
則BD⊥AC，且AD=BD=$\frac{1}{2}AC$，
∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα，（m為質(zhì)量，g為重力加速度）
∵在RT△ABD中，s=$\frac{AD}{cosα}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
∴t²=$\frac{2AD}{acosα}$=$\frac{AC}{gsinαcosα}$=$\frac{2AC}{gsin2α}$≥$\frac{2AC}{g}$=$\frac{4l}{g}$，
當(dāng)sin2α=1，即α=45°時(shí)等號(hào)成立，
∴α=45°，水從屋頂（頂面為光滑斜面）上流下所需的時(shí)間最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形函數(shù)在物理上的應(yīng)用，考查二倍角正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是尋找時(shí)間關(guān)于傾斜角的關(guān)系式．