Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，再由已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{4}$，夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|，得：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2|\overrightarrow{|}^{2}$，即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}=2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2|\overrightarrow{|}^{2}$，
解得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
∴向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{4}$，夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)量積公式的記憶與運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．