Question

12．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是2，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的和是12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過2q+2q²=12可知公比q=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過a_n=2ⁿ可知b_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
∵a₁=2，∴a₂=2q，a₃=2q²，
又∵第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的和是12，
∴2q+2q²=12，
解得q=2或q=-3（舍），
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．