2.已知數(shù)列{an},對于任意n∈N*,都有an=n2-bn,是否存在一個(gè)整數(shù)m,使得當(dāng)b<m時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列?這樣的整數(shù)是否唯一?是否存在最大的整數(shù)?

分析 假設(shè)存在一個(gè)整數(shù)m,使得當(dāng)b<m時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則${a}_{n+1}-{a}_{n}=[(n+1)^{2}-b(n+1)]-({n}^{2}-bn)$=2n+1-b>0,由此能求出結(jié)果.

解答 解:∵數(shù)列{an},對于任意n∈N*,都有an=n2-bn,
假設(shè)存在一個(gè)整數(shù)m,使得當(dāng)b<m時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=[(n+1)^{2}-b(n+1)]-({n}^{2}-bn)$=2n+1-b>0,
∴存在一個(gè)整數(shù)m,使得當(dāng)b<m時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,
且m=2n+1,n∈N*
滿足條件的整數(shù)m不是唯一的,但不存在最大值.

點(diǎn)評 本題考查滿足條件的整數(shù)是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意配方法的合理運(yùn)用.

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