Question

7．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）若$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{PB}$，求$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取最小值時(shí)，求cos∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．可設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（2x，x）．利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理，即可得出．
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量夾角公式即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
∴可設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（2x，x），
$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$=（1-2x，7-x），
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$=（5-2x，1-x），
∵$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{PB}$，
∴（1-2x）（1-x）-（7-x）（5-2x）=0，
解得x=$\frac{17}{8}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$（\frac{17}{4}，\frac{17}{8}）$．
（2）$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（1-2k）（5-2k）+（7-k）（1-k）=5{k^2}-20k+12=5{（k-2）^2}-8$，
∴k=2時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取的最小值-8，此時(shí)$\overrightarrow{PA}=（-3，5），\overrightarrow{PB}=（1，-1）$，
∴$cos∠APB=\frac{-8}{{\sqrt{34}•\sqrt{2}}}=-\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理，、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．