Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\frac{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，A+3C=π．
（1）求cosC+cosB的值；
（2）若b=3$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）已知第二個等式變形得到B=2C，已知第一個等式利用正弦定理化簡，把B=2C代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理求出cosC的值，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cosB的值，即可求出原式的值；
（2）把b的值代入第一個等式求出c的值，由cosB與cosC的值求出sinB與sinC的值，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式求出sinA的值，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答 解：（1）由正弦定理得：$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵A+3C=π，A+B+C=π，
∴B=2C，即$\frac{sin2C}{sinC}$=$\frac{2sinCcosC}{sinC}$=2cosC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
整理得：cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosB=2cos²C-1=-$\frac{1}{3}$，
則cosC+cosB=$\frac{\sqrt{3}-1}{3}$；
（2）∵b=3$\sqrt{3}$，$\frac{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴c=$\frac{9}{2}$，
∵cosB=-$\frac{1}{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{9}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．