13．如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)于棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？

分析 證明四邊形EFGH平行四邊形，設(shè)AF：AC=n，則FC：AC=1-n，又設(shè)AB與CD所成角θ，則有∠FGH=θ（或π-θ）．SEFGH=GF•GH•sin∠FGH=（1-n）AB•nCDsin∠FGH=n（1-n）AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值，故n（1-n）取最大值時(shí)SEFGH最大，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=GF，∴AB∥GF．
同理證EH∥AB，∴GF∥EH，同理證EF∥GH．故四邊形EFGH平行四邊形．
設(shè)AF：AC=n，則FC：AC=1-n，又設(shè)AB與CD所成角θ，則有∠FGH=θ（或π-θ）．
∴SEFGH=GF•GH•sin∠FGH=（1-n）AB•nCDsin∠FGH=n（1-n）AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值，
故n（1-n）取最大值時(shí)SEFGH最大，當(dāng)且僅當(dāng)n=1-n，即n=$\frac{1}{2}$時(shí)取得大值．故當(dāng)E、F、G、H分別各邊點(diǎn)時(shí)四邊形EFGH面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體，考查面積的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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