Question

2．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（-1）=0，若不等式$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0對(duì)區(qū)間（-∞，0）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁、x₂恒成立，則不等式2xf（3x）＜0的解集是（-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0對(duì)區(qū)間（-∞，0）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都成立，知g（x）=xf（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，由f（x）的奇偶性可判斷g（x）的奇偶性及特殊點(diǎn)，從而可作出草圖，由圖象可解g（3x）＜0，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0對(duì)區(qū)間（-∞，0）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都成立，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
又 f（x）為奇函數(shù)，∴g（x）=xf（x）為偶函數(shù)，
g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（-1）=g（1）=0，
作出g（x）的草圖如圖所示：
2xf（3x）＜0即g（3x）＜0，
由圖象得，-1＜3x＜0或0＜3x＜1，解得-$\frac{1}{3}$＜x＜0或0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴不等式2xf（3x）＜0解集是（-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$），
故答案為：（-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式的求解，綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)化抽象不等式為具體不等式是解題關(guān)鍵．