Question

8．已知不等式 $1+\frac{1}{4}＜\frac{3}{2}，1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}＜\frac{5}{3}，1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}＜\frac{7}{4}，…$，照此規(guī)律，總結(jié)出第 n（n∈N^*）個不等式為1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 從已知的三個不等式分析，從左邊各加數(shù)的分母以及右邊分子與分母的關(guān)系入手得到規(guī)律．

解答 解：由已知三個不等式可以寫成1+$\frac{1}{{2}^{2}}＜\frac{2×2-1}{2}$，
1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}＜\frac{2×3-1}{3}$，
1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}＜\frac{2×4-1}{4}$，
照此規(guī)律得到第n個不等式為
1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2（n+1）-1}{n+1}=\frac{2n+1}{n+1}$；
故答案為：1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$（n∈N⁺）．

點評 本題考查了歸納推理；關(guān)鍵是由已知的三個不等式發(fā)現(xiàn)與序號的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律．