Question

15．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0恒成立，則不等式f（x）＞0的解集為（　　）

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造新函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)g（x）的圖象，從而求出不等式的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
由題意知g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，且g（1）=0，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴g（x）是R上的偶函數(shù)．
$\frac{f（x）}{x}$的草圖如圖所示：

由圖象知：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0．
∴不等式f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解答本題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．