Question

4．下面四個(gè)圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-1）x+1（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象，則f（-1）等于（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 先求出f′（x），根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸，判斷哪一個(gè)圖象是導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象，再根據(jù)圖象求出a的值，最后求出f（-1）．

解答 解：函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+2ax+（a²-1）=（x+a）²-1，
則f′（x）的圖象開口向上，排除（2）（4），
若是（1）則，對(duì)稱軸關(guān)于y軸對(duì)稱，則2a=0，即a=0，
f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+1，
∴f（-1）=-$\frac{1}{3}$+1+1=$\frac{5}{3}$，
若對(duì)應(yīng)的圖象應(yīng)為（3），
則函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，a²-1=0，解得a=1，或a=-1且對(duì)稱軸x=-a＞0，即a＜0，
∴a=-1
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+1，
∴f（-1）=-$\frac{1}{3}$-1+1=-$\frac{1}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的確定，以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．