Question

6．給出方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$當(dāng)t為參數(shù)時(shí)動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡方程為曲線C₁，當(dāng)θ為參數(shù)時(shí)動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡曲線C₂，且C₁與C₂的一個(gè)公共點(diǎn)為（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
（1）求C₁與C₂的普通方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C₂的極坐標(biāo)方程以及C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ≤2π）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給參數(shù)方程，消去相應(yīng)的參數(shù)即可得到相應(yīng)的普通方程；
（2）結(jié)合（1），直接寫出相應(yīng)曲線C₂的極坐標(biāo)方程，然后，將所給交點(diǎn)的坐標(biāo)化為極坐標(biāo)形式即可．

解答 解：（1）根據(jù)參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t，得
$\frac{x-1}{y-1}=\frac{cosθ}{sinθ}$，
∴xsinθ-ycosθ+cosθ-sinθ=0，
∴曲線C₁的普通方程為：xsinθ-ycosθ+cosθ-sinθ=0，
根據(jù)參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)θ，得
（x-1）²+（y-1）²=t²，
∴曲線C₂的普通方程為：（x-1）²+（y-1）²=t²，
（2）結(jié)合（1）中曲線C₂的普通方程，得
x²+y²-2x-2y-2-t²=0，
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-2-t²=0，
又∵C₁與C₂的一個(gè)公共點(diǎn)為（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$），
此時(shí)極角θ，滿足tanθ=1，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∵極徑ρ=$\sqrt{2×（1+\sqrt{2}）^{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
∴C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程和普通方程的互化等知識(shí)，屬于中檔題．