Question

2．已知圓C：x²-4x+y²=0，過點(diǎn)P（-1，0）作直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)．
（I）當(dāng)直線l的傾斜角為30°時，求|MN|的長；
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，當(dāng)∠MCN為鈍角時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C：x²-4x+y²=0的圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為2，CQ=sin30°×PC=$\frac{3}{2}＜2$，由此能求出|MN|．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），k≠0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}-4x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積能求出k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²-4x+y²=0的圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為2，
∵P（-1，0），∴PC=3，
當(dāng)直線l的傾斜角為30°時，過圓心C作直線l的垂線，垂足為Q，
在Rt△PQC中，sin30°=$\frac{CQ}{PC}$，∴CQ=sin30°×PC=$\frac{3}{2}＜2$，
∴|MN|=2$\sqrt{4-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
（Ⅱ）根據(jù)題意，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），k≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}-4x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k²-4）x+k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則△=（2k²-4）²-4（1+k²）k²＞0，
解得$0＜{k}^{2}＜\frac{5}{4}$，
由韋達(dá)定理得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
當(dāng)∠MCN為鈍角時，$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}＜0$，
∵$\overrightarrow{CM}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{CN}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$=（x₁-2，y₂）•（x₂-2，y₂）
=x₁x₂-2（x₁+x₂）-4+y₁y₂
=$（1+{k}^{2}）{{x}_{1}{x}_{2}+（k}^{2}-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}+4$
=$（1+{k}^{2}）•\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+（k²-2）•$\frac{4-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+k²+4
=$\frac{14{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$＜0，得14k²＜4，
∴-$\frac{\sqrt{14}}{7}＜k＜\frac{\sqrt{14}}{7}$，k≠0，且滿足0＜k²＜$\frac{4}{5}$，
∴k的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{14}}{7}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{14}}{7}$）．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．