Question

1．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件次品，現(xiàn)對(duì)它們一一測(cè)度，直至找到所有4件次品為止．
（1）若恰在第2次測(cè)試時(shí)，才測(cè)試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？
（2）若至多測(cè)試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？

Answer 1

分析 （1）若恰在第2次測(cè)試時(shí)，才測(cè)到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐個(gè)抽取測(cè)試，第2次測(cè)到第一件次品有4種方法；第8次測(cè)到最后一件次品有3種方法；第3至第7次抽取測(cè)到最后兩件次品共有${A}_{5}^{2}$種方法；剩余4次抽到的是正品，分類計(jì)數(shù)原理共有${A}_{4}^{2}$${A}_{5}^{2}$${A}_{6}^{4}$種抽法．
（2）檢測(cè)4次可測(cè)出4件次品，不同的測(cè)試方法有${A}_{4}^{4}$種，檢測(cè)5次可測(cè)出4件次品，不同的測(cè)試方法有4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$種；檢測(cè)6次測(cè)出4件次品或6件正品，則不同的測(cè)試方法共有4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$種，由分類計(jì)數(shù)原理，知滿足條件的不同測(cè)試方法的種數(shù)為${A}_{4}^{4}$+4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$+4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$．

解答 解：（1）若恰在第2次測(cè)試時(shí)，才測(cè)到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐個(gè)抽取測(cè)試，
第2次測(cè)到第一件次品有4種方法；第8次測(cè)到最后一件次品有3種方法；
第3至第7次抽取測(cè)到最后兩件次品共有${A}_{5}^{2}$種方法；剩余4次抽到的是正品，共有${A}_{4}^{2}$${A}_{5}^{2}$${A}_{6}^{4}$=86400種抽法．
（2）檢測(cè)4次可測(cè)出4件次品，不同的測(cè)試方法有${A}_{4}^{4}$種，
檢測(cè)5次可測(cè)出4件次品，不同的測(cè)試方法有4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$種；
檢測(cè)6次測(cè)出4件次品或6件正品，則不同的測(cè)試方法共有4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$種．
由分類計(jì)數(shù)原理，
知滿足條件的不同測(cè)試方法的種數(shù)為${A}_{4}^{4}$+4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$+4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$=8520．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分步計(jì)數(shù)問題，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查用排列組合數(shù)表示方法數(shù)，是中檔題．