Question

6．如圖所示的圖形由兩個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形組成，且正方形的邊長(zhǎng)為2，直線x=t（0＜t≤4）從左到右掃過(guò)圖形的面積為S=f（t），如f（0.5）=0.25，f（4）=6
（1）求S=f（t）的解析式；
（2）求$g（t）=\frac{f（t）}{t^2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得等腰直角三角形的直角邊為$\sqrt{2}$，斜邊的中線（高）為1，分0＜t≤1和1＜t≤3以及3＜t≤4，由三角形和矩形的面積公式可得；
（2）由（1）可得g（t）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的值域分類(lèi)討論可得．

解答 解：（1）由題意可得等腰直角三角形的直角邊為$\sqrt{2}$，斜邊的中線（高）為1，
∴當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$t）²=t²；
當(dāng)1＜t≤3時(shí)，S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$）²+2（t-1）=2t-1；
當(dāng)3＜t≤4時(shí)，S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$）²+2×2+1-$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$（4-t）]²=-t²+8t-10；
∴S=f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}，0＜t≤1}\\{2t-1，1＜t≤3}\\{-{t}^{2}+8t-10，3＜t≤4}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可得$g（t）=\frac{f（t）}{t^2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，0＜t≤1}\\{\frac{2t-1}{{t}^{2}}，1＜t≤3}\\{\frac{-{t}^{2}+8t-10}{{t}^{2}}，3＜t≤4}\end{array}\right.$，
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，g（t）=1；
當(dāng)1＜t≤3時(shí)，g（t）=$\frac{2t-1}{{t}^{2}}$=$\frac{2}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-（$\frac{1}{t}$-1）²+1，
∵1＜t≤3，∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{t}$＜1，故g（t）＜g（1）=1；
當(dāng)3＜t≤4時(shí)，g（t）=$\frac{-{t}^{2}+8t-10}{{t}^{2}}$=-10（$\frac{1}{t}$）²+8（$\frac{1}{t}$）-1，
∵3＜t≤4，∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{t}$＜$\frac{1}{3}$，故g（t）＜g（3）=$\frac{5}{9}$；
綜上可得函數(shù)的最大值為1

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及分段函數(shù)和二次函數(shù)的最值，屬中檔題．