Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$且a_n=$\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}\begin{array}{l}{\;}$ （n∈N，n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{2}$+$\frac{a_3}{3}$+…+$\frac{a_n}{n}$-n＜$\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)${a_n}=\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈N）$變形可知$\frac{n}{a_n}-1=\frac{1}{3}（\frac{n-1}{{{a_{n-1}}}}-1）$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)通過(guò)放縮可知$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$≤1+$\frac{1}{8×{3}^{n-2}}$，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵${a_n}=\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}（n≥2，n∈N）$，
∴$\frac{n}{a_n}=\frac{n-1}{{3{a_{n-1}}}}+\frac{2}{3}$，即$\frac{n}{a_n}-1=\frac{1}{3}（\frac{n-1}{{{a_{n-1}}}}-1）$，
所以數(shù)列$\{\frac{n}{a_n}-1\}$是以$\frac{1}{a_1}-1$為首項(xiàng)、$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
又∵a₁=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{n}{a_n}-1=-{（\frac{1}{3}）^n}$，即${a_n}=\frac{{n{3^n}}}{{{3^n}-1}}$；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{3^n}{{{3^n}-1}}=\frac{{{3^n}-1+1}}{{{3^n}-1}}=1+\frac{1}{{{3^n}-1}}≤1+\frac{1}{{{3^n}（1-\frac{1}{3^n}）}}≤1+\frac{1}{{{3^n}（1-\frac{1}{3^2}）}}≤1+\frac{9}{{8×{3^n}}}=1+\frac{1}{{8×{3^{n-2}}}}$，
$\begin{array}{l}\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+…+\frac{a_n}{n}-n\\=\frac{3}{{{3^1}-1}}+\frac{3^2}{{{3^2}-1}}+\frac{3^3}{{{3^3}-1}}+…+\frac{3^n}{{{3^n}-1}}-n\end{array}$
=$（1+\frac{1}{{{3^1}-1}}）+（1+\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（1+\frac{1}{{{3^3}-1}}）+（1+\frac{1}{{{3^4}-1}}）…+（1+\frac{1}{{{3^n}-1}}）-n$
$≤\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8×3}+\frac{1}{{8×{3^2}}}+…+\frac{1}{{8×{3^{n-2}}}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{{\frac{1}{8}（1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$
$≤\frac{1}{2}+\frac{3}{16}$=$\frac{11}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查放縮法、分組求和法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．