Question

1．已知橢圓C的離心率為$\frac{2}{3}$，且與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$求出a，b，以及焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，由a、b、c的關(guān)系求出c，即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由題意和離心率公式求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$得，a=5、b=3，且焦點(diǎn)在x軸上，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0）、（4，0），
∵橢圓C的離心率為$\frac{2}{3}$，且c=4，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，a=6，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{36-16}$=$\sqrt{20}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，掌握橢圓的a，b，c的關(guān)系和焦點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．