Question

如圖，四棱柱ABCD  A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC．過A₁，C，D三點的平面記為α，BB₁與α的交點為Q．
（1）證明：Q為BB₁的中點；
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；
（3）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得平面QBC∥平面A₁AD，從而QC∥A₁D，由此能證明Q為BB₁的中點．
（2）連接QA，QD．設AA₁=h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積分別為V_上和V_下，BC=a，則AD=2a．V_下=VQ-A1AD+V_{四棱錐QABCD}=

7

12

ahd．V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=

3

2

ahd，由此能求出此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比．
（3）法一：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E，∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�
（3）法二：以D為原點，DA，DD₁分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系，由此利用向量法能求出平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

解答： （1）證明：∵BQ∥AA₁，BC∥AD，
BC∩BQ=B，AD∩AA₁=A，
∴平面QBC∥平面A₁AD，
∴平面A₁CD與這兩個平面的交線相互平行，
即QC∥A₁D．
∴△QBC與△A₁AD的對應邊相互平行，
∴△QBC∽△A₁AD，
∴

BQ

BB1

=

BQ

AA1

=

BC

AD

=

1

2

，
∴Q為BB₁的中點．
（2）解：如圖1所示，連接QA，QD．設AA₁=h，梯形ABCD的高為d，
四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積分別為V_上和V_下，BC=a，則AD=2a．
VQ-A1AD=

1

3

•

1

2

•2a•h•d=

1

3

ahd，
V_{四棱錐QABCD}=

1

3

•

a+2a

2

•d•

1

2

h=

1

4

ahd，
所以V_下=VQ-A1AD+V_{四棱錐QABCD}=

7

12

ahd．
又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=

3

2

ahd，
所以V_上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V_下=

3

2

ahd-

7

12

ahd=

11

12

ahd，
故

V上

V下

=

11

7

．
（3）解法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E．
又DE⊥AA₁，且AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面AEA₁，所以DE⊥A₁E．
所以∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．
因為BC∥AD，AD=2BC，所以S_△ADC=2S_△BCA．
又因為梯形ABCD的面積為6，DC=2，
所以S_△ADC=4，AE=4．
于是tan∠AEA₁=

AA1

AE

=1，∠AEA₁=

π

4

．
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為

π

4

．
（3）解法二：如圖2所示，
以D為原點，DA，DD₁分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系．
設∠CDA=θ，BC=a，則AD=2a．
因為S_{四邊形ABCD}=

a+2a

2

•2sin θ=6，
所以a=

2

sinθ

．
從而可得C（2cos θ，2sin θ，0），A₁（

4

sinθ

，0，4），
所以DC=（2cos θ，2sin θ，0），

DA1

=（

4

sinθ

，0，4）．
設平面A₁DC的法向量

n

=（x，y，1），
由

DA1 • n = 4 sinθ x+4=0 DC • n =2xcosθ+2ysinθ=0

，
得

x=-sinθ y=cosθ

，
所以

n

=（-sin θ，cos θ，1）．
又因為平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
所以cos＜

n

，

m

＞=

1

sin2θ+cos2θ+1

=

2

2

，
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查Q為BB₁的中點的證明，考查四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．