Question

【題目】已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)．

（Ⅰ）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)詳解；（Ⅱ）見(jiàn)詳解；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）假設(shè)是等比數(shù)列，根據(jù)和建立等式，若無(wú)解，說(shuō)明假設(shè)不成立；（Ⅱ）根據(jù)和求出和的關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（Ⅲ）時(shí)，成立；，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式解不等式.

（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，

即，矛盾．

所以不是等比數(shù)列．

（Ⅱ）證明：

.

又．由上式知，

故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）得，

于是，

當(dāng)時(shí)，，從而．上式仍成立.

要使對(duì)任意正整數(shù)，都有.

即.

令，則

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，：當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，

的最大值為.

于是可得.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有；

的取值范圍為.