【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，且方程有一根為

（1）求、；

（2）求數(shù)列的通項公式.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題（1）分別取，根據(jù)方程有一根，，即可求得、；（2）由題設(shè)得，，即即當時，，代入上式得，通過計算猜想再用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論，進而利用當時，，時，，適合上式，即可求得的通項公式．

試題解析：（1）時，有一根，

于是，解得.

時，有一根，

于是，解得.

（2）由題設(shè)，得，

即①

當時，，代入①得.②

由于（1）知.

由②可，由此猜想,

下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論.

（ⅰ）時，已知結(jié)論成立.

（ⅱ）假設(shè)時結(jié)論成立，即，當時，由②得，

即，故時結(jié)論也成立.

綜上，由（ⅰ）、（ⅱ）可知，對所有正整數(shù)都成立，于是當時，，

又因為時，，所以的通項公式為.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓 的右頂點，離心率為，為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知（異于點）為橢圓上一個動點，過作線段的垂線交橢圓于點，求的取值范圍.

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【題目】如圖，四棱錐中，，，，，．

（Ⅰ）求異面直線AB與PD所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明：平面平面PBD；

（Ⅲ）求直線DC與平面PBD所成角的正弦值．

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【題目】設(shè)橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．

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【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG（圖中陰影部分）．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型．園區(qū)服務中心P在x軸正半軸上，PO＝百米．

（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；

（2）若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q，試確定Q的位置，使通道直線段PQ最短．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查觀眾對電影“復仇者聯(lián)盟4”結(jié)局的滿意程度，研究人員在某電影院隨機抽取了1000名觀眾作調(diào)查，所得結(jié)果如下所示，其中不喜歡“復仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局的觀眾占被調(diào)查觀眾總數(shù)的.

男性觀眾

女性觀眾

總計

喜歡“復仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局

400

不喜歡“復仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局

200

總計

（Ⅰ）完善上述列聯(lián)表；

（Ⅱ）是否有99.9%的把握認為觀眾對電影“復仇者聯(lián)盟4”結(jié)局的滿意程度與性別具有相關(guān)性？

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線方程為.

（1）已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求的值；

（2）設(shè)直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.

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【題目】某市調(diào)研考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

甲班

10

乙班

30

合計

110

（1）請完成上面的列聯(lián)表；

（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”；

參考公式與臨界值表：.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】已知數(shù)列和滿足：，，，其中為實數(shù)，為正整數(shù)．

（Ⅰ）證明：對任意的實數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）證明：當時，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

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