Question

12．已知x，y都是正實(shí)數(shù)，比較$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$與（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$的大小．

Answer 1

分析 由于A=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 與B=（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$都是正實(shí)數(shù)，故要比較A、B的大小，只要比較A⁶與 B⁶的大小即可．計(jì)算 A⁶-B⁶，利用放縮法可得 A⁶-B⁶＞0，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于A=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 與B=（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$都是正實(shí)數(shù)，故只要比較A⁶與 B⁶的大小即可．
∵A⁶-B⁶=（x²+y²）³-（x³+y³）²=（x⁶+y⁶+3x⁴•y²+3x²•y⁴）-（x⁶+y⁶+2x³•y³）
=x²•y² （3x²+3y²-2xy）＞x²•y² （x²+y²-2xy）=x²•y²•（x-y）²≥0，
∴A⁶-B⁶＞0，
∴A＞B，即 $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查比較兩個式子的大小的方法，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．