Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$短軸長2，離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（1）求橢圓的方程；
（2）若y=kx+m與x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，與橢圓交于A，B兩點，當A，B兩點橫坐標不相等時，證明以AB為直徑的圓恰過原點O．

Answer 1

分析 （1）橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$短軸長2，離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）由y=kx+m與x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，得m²=$\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積公式能證明以AB為直徑的圓恰過原點O．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$短軸長2，離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得b=1，a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
證明：（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
∵y=kx+m與x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，
∴圓心（0，0）到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，∴m²=$\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴以AB為直徑的圓恰過原點O．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查圓過原點的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．