Question

12．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$ （a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過點A（a，0）和B（0，-b）的直線與原點的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知點P（-1，0）和點Q（0，2），若直線l恒過點Q且與橢圓M交于C、D兩點．問：是否存在以弦CD為直徑的圓過點P？若存在，求出置直線l的方程．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A，B的坐標(biāo)可表示直線AB的方程，進(jìn)而求得原點到直線的距離，得到a和b的關(guān)系式，由橢圓離心率及隱含條件求得a和b，則橢圓方程可求；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，由題意知其斜率存在，設(shè)斜率為k，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出C，D點坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理可得x₁+x₂和x₁x₂，由$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=0$列式求得k值得答案．

解答 解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab=0，
依題意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）假設(shè)存在這樣的直線l，由題意可知其斜率存在，設(shè)斜率為k，
則直線方程為y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
則△=（12k）²-36（1+3k²）＞0    ①
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$    ②
以弦CD為直徑的圓過點P，則$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=0$，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
整理得：x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0，
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0    ③
將②式代入③整理解得k=$\frac{7}{6}$．
驗證k=$\frac{7}{6}$使①成立．
∴直線l的方程為y=$\frac{7}{6}x+2$．
綜上可知，存在直線ly=$\frac{7}{6}x+2$，使得以CD為直徑的圓過過點P．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．