Question

1．已知橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）
（1）求橢圓C的形狀最圓時的方程；
（2）當(dāng)橢圓C的形狀最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)M，證明：點(diǎn)M在一個定圓上．

Answer 1

分析 （1）橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0），可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{a}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{a+\frac{1}{a}}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．取特殊的相互垂直的切線：x=±$\sqrt{2}$，y=1，相交于點(diǎn)（±$\sqrt{2}$，1），取圓的方程：x²+y²=3．設(shè)P（x₀，y₀）為圓上的任意一點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+$2（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-2=0，利用△=0 及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0），∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{a}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{a+\frac{1}{a}}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=1設(shè)取等號，
可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
此時橢圓C的形狀最圓．
（2）由橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．取兩條特殊的相互垂直的切線：x=±$\sqrt{2}$，y=1，相交于點(diǎn)（±$\sqrt{2}$，1），
取圓的方程：x²+y²=3．
設(shè)P（x₀，y₀）為圓上的任意一點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}=k（x-{x}_{0}）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+$2（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-2=0，
∴△=$16{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-8（1+2k²）$[（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}-1]$=0，
化為：$（2-{x}_{0}^{2}）$k²+2kx₀y₀+1-${y}_{0}^{2}$=0，$（{x}_{0}^{2}≠2）$，
∴k₁k₂=$\frac{1-{y}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$，
∵${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=3，可得$1-{y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-2，
∴k₁k₂=$\frac{1-{y}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$=-1．
綜上可得：點(diǎn)M在一個定圓上x²+y²=3上．

點(diǎn)評 本題考查了標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．