Question

15．如圖，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在平面ABC內(nèi)的射影D為棱AC的中點，側(cè)面A₁ACC₁為邊長為2的菱形，AC⊥CB，BC=1．
（Ⅰ）證明：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求三棱錐B-A₁B₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）由A₁D⊥平面ABC得平面₁ACC₁⊥平面ABC，于是BC⊥平面A₁ACC₁，推出BC⊥AC₁，由菱形的性質(zhì)可知A₁C⊥AC₁，于是AC₁⊥平面A₁BC．
（2）三棱錐B-A₁B₁C的體積等于三棱柱的體積減去兩個棱錐的體積．

解答 解：（1）∵A₁D⊥平面ABC，₁D?平面A₁ACC₁，
∴平面₁ACC₁⊥平面ABC，∵平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，CA⊥CB，CB?平面ABC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，∵AC₁?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵側(cè)面A₁ACC₁為菱形，∴A₁C⊥AC₁，
又∵A₁C?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
（2）∵AD=1，A₁A=2，∴A₁D=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=S_△ABC•A₁D=$\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABC}$=V${\;}_{棱錐C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V${\;}_{棱錐B-{A}_{1}{B}_{1}C}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$-V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABC}$-${\;}_{棱錐C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判斷，棱錐的體積計算，屬于中檔題．