Question

10．已知函數(shù)f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（1，e）時，不等式$\frac{x-1}{a}$＜lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞（$\frac{x-1}{lnx}$）_max或a＜＞（$\frac{x-1}{lnx}$）_min，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x的定義域?yàn)椋?，+∞）．
因?yàn)閒′（x）=a（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$．
①當(dāng)a＞0時，隨著x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

即函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＜0時，隨著x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

即函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）a＞0時，x∈（1，e），0＜lnx＜1，不等式$\frac{x-1}{a}$＜lnx恒成立，等價于a＞$\frac{x-1}{lnx}$恒成立，
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，g′（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{x}-1}{{ln}^{2}x}$，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，x∈（1，e），
∴h（x）在（1，e）遞增，h_min（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）＞0在（1，e）恒成立，
∴g（x）_max＜g（e）=e-1，
∴a≥e-1，
a＜0時，a＜$\frac{x-1}{lnx}$，∵g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，x∈（1，e），
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{x-1}{lnx}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1}{\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{x→1}$x=1，
∴a＜0成立，
綜上，a≥e-1或a＜0．

點(diǎn)評 本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，考察函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．