Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)△ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，a），B（-$\sqrt{5a}$，0），C（$\sqrt{5a}$，0），Q（0，b），（其中a＞0，b＞0），圓M為△ABC的外接圓．
（1）當(dāng)a=9時(shí)，求圓M的方程；
（2）當(dāng)a變化時(shí)，圓M是否過某一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）在（1）的條件下，若圓M上存在點(diǎn)P，滿足PQ=2PO，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求圓M的方程；
（2）由（1）圓M的方程可化為：x²+y²+5y-a（5+y）=0，要使圓M過某一定點(diǎn)，可得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+5y=0\\ y+5=0\end{array}\right.$，即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在以$（0，-\frac{3}）$為圓心，$\frac{2b}{3}$為半徑的圓上又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓M，所以兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓M的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵$A（0，a），B（-\sqrt{5a}，0），C（\sqrt{5a}，0）$在圓M上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+aE+F=0\\ 5a-\sqrt{5a}D+F=0\\ 5a+\sqrt{5a}D+F=0\end{array}\right.$
解得D=0，E=5-a，F(xiàn)=-5a
圓M的方程為：x²+y²+（5-a）y-5a=0
當(dāng)a=9時(shí)，圓M的方程為：x²+y²-4y-45=0
（2）由（1）圓M的方程可化為：x²+y²+5y-a（5+y）=0…8
要使圓M過某一定點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+5y=0\\ y+5=0\end{array}\right.$
解得x=0，y=-5，
∴圓M過定點(diǎn)（0，-5）…10
（3）設(shè)P的坐標(biāo)（x，y），因?yàn)镻Q=2PO，
所以$\sqrt{{x^2}+{{（y-b）}^2}}=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}$，
整理得${x^2}+{y^2}+\frac{2b}{3}y-\frac{b^2}{3}=0$，${x^2}+{（y+\frac{3}）^2}=\frac{{4{b^2}}}{9}$（b＞0）…12
所以點(diǎn)P在以$（0，-\frac{3}）$為圓心，$\frac{2b}{3}$為半徑的圓上
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓M，所以兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，
當(dāng)a=1時(shí)，圓M的圓心為（0，2），半徑為7
故有$|7-\frac{2b}{3}|≤2+\frac{3}≤7+\frac{2b}{3}$，
解得5≤b≤27…16

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查圓過定點(diǎn)，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．