Question

12．已知等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-k（k∈R），公差為k的等差數(shù)列{a_n}，滿足b₁=a₁．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{（2{a}_{n}-1）_{n+2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}，的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得k=1，從而求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡c_n=$\frac{（2{a}_{n}-1）_{n+2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$，從而求T_n=（$\frac{{3}^{3}}{3}$-$\frac{{3}^{2}}{2}$）+（$\frac{{3}^{4}}{4}$-$\frac{{3}^{3}}{3}$）+…+（$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$）=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{9}{2}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3ⁿ-k為等比數(shù)列，
∴k=1，b₁=a₁=S₁=3¹-1=2，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
b_n=2•3^n-1；
（Ⅱ）∵c_n=$\frac{（2{a}_{n}-1）_{n+2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（2n+1）2•{3}^{n+1}}{2（n+1）（n+2）}$
=$\frac{（2n+1）{3}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$，
∴T_n=（$\frac{{3}^{3}}{3}$-$\frac{{3}^{2}}{2}$）+（$\frac{{3}^{4}}{4}$-$\frac{{3}^{3}}{3}$）+…+（$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$）
=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{2}}{2}$
=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．