Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足①對(duì)于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4.

（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）①或②詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)條件可知二次函數(shù)對(duì)稱軸，的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4可求出交點(diǎn)，利用交點(diǎn)式求函數(shù)解析式（2）①寫出二次函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系可求出的取值范圍②分類討論求出函數(shù)的最小值，換元后作出函數(shù)圖象，再利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn)，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

（1）因?yàn)槎�次函�?shù)中，

所以對(duì)稱軸，

又的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4，

所以與軸交點(diǎn)為

設(shè)，

又，

所以

即.

（2）① ,

對(duì)稱軸為，

因?yàn)?/span>為單調(diào)函數(shù)，

所以或

解得或.

故的取值范圍是或.

②,

對(duì)稱軸為，

當(dāng)，即時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，

綜上

函數(shù)零點(diǎn)即為方程的根，

令，即的根，

作出的簡圖如圖所示：

（i）當(dāng)時(shí)，，或，

解得或，有3個(gè)零點(diǎn).

（ii）當(dāng)時(shí)，有唯一解，解得，有2個(gè)零點(diǎn).

（iii）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的解，

解得或，有4個(gè)零點(diǎn).

（iv）當(dāng)時(shí)，，，解得，有2個(gè)零點(diǎn).

（v）當(dāng)時(shí)，無解，無零點(diǎn).

綜上：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，4個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).