Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足①對于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4.

（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數(shù)零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）①或②詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)條件可知二次函數(shù)對稱軸，的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4可求出交點，利用交點式求函數(shù)解析式（2）①寫出二次函數(shù)，根據(jù)對稱軸與區(qū)間關(guān)系可求出的取值范圍②分類討論求出函數(shù)的最小值，換元后作出函數(shù)圖象，再利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

（1）因為二次函數(shù)中，

所以對稱軸，

又的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4，

所以與軸交點為

設(shè)，

又，

所以

即.

（2）① ,

對稱軸為，

因為為單調(diào)函數(shù)，

所以或

解得或.

故的取值范圍是或.

②,

對稱軸為，

當(dāng)，即時，，

當(dāng)，即時，，

當(dāng)，即時，

綜上

函數(shù)零點即為方程的根，

令，即的根，

作出的簡圖如圖所示：

（i）當(dāng)時，，或，

解得或，有3個零點.

（ii）當(dāng)時，有唯一解，解得，有2個零點.

（iii）當(dāng)時，有兩個不同的解，

解得或，有4個零點.

（iv）當(dāng)時，，，解得，有2個零點.

（v）當(dāng)時，無解，無零點.

綜上：當(dāng)時，無零點；

當(dāng)時，4個零點；

當(dāng)時，有3個零點；

當(dāng)或時，有2個零點.