Question

5．已知數列{a_n}的前n項和${S_n}={n^2}$，數列{b_n}滿足b₂=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）記數列{a_nb_n}的前n項和為T_n，求T_n＜230時的n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用數列的前n項和公式，通過a_n=S_n-S_n-1求出通項公式；判斷數列{b_n}是等比數列，求解通項公式即可．
（2）求出數列{a_nb_n}的通項公式，利用錯位相減法求出前n項和為T_n，利用表達式求解即可．

解答 解：（1）當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，…（3分）
又a₁=S₁=1滿足上式，∴a_n=2n-1、…（5分）
又b_n+1=2b_n，所以{b_n}是公比為2的等比數列，${b_n}={2^{n-1}}$、…（7分）
（2）${T_n}=1•1+3•2+5•{2^2}+…+（2n-1）•{3^{n-1}}①$…（8分）$2{T_n}=1•2+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（2n-1）•{3^n}②$…（10分）
①-②得，$-{T_n}=1+2•2+2•{2^2}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$=$1+\frac{{4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^n}=1+{2^{n+1}}-4-（2n-1）•{2^n}=（3-2n）•{2^n}-3$…（13分）
所以${T_n}=（2n-3）•{2^n}+3$、…（14分）
由${T_n}=（2n-3）•{2^n}+3＜230$得n≤5，
所以n的最大值為5．…（16分）

點評 本題考查數列的通項公式以及數列的前n項和的求法，不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．