Question

19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足sin（2A+B）=2sinA+2cos（A+B）sinA
（Ⅰ）求$\frac{a}$的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且a=1，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求$\frac{a}$的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且a=1，根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理建立方程關(guān)系即可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（2A+B）=2sinA+2cos（A+B）sinA，
∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2cos（A+B）sinA，
∴sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=2sinA，
∴sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，∴$\frac{a}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵a=1，∴b=2，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•1•2•sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$cosC=±\frac{1}{2}$，
當(dāng)$cosC=\frac{1}{2}$時(shí)，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=\frac{1}{2}$，∴$C=\sqrt{3}$．
當(dāng)$cosC=-\frac{1}{2}$時(shí)，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=-\frac{1}{2}$，∴$C=\sqrt{7}$．
故$C=\sqrt{3}$或$C=\sqrt{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式將轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．