Question

17．△ABC中，AB=3，AC=2BC，則△ABC面積的最大值為3．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（-$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0）設(shè)C（x，y），（y≠0）．根據(jù)AC=2BC，可得$\sqrt{（x+\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（-$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0）設(shè)C（x，y），（y≠0）
∵AC=2BC，
∴$\sqrt{（x+\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得：$（x-\frac{5}{2}）^{2}$+y²=4，去掉$（\frac{1}{2}，0）$或$（\frac{9}{2}，0）$．
即C的軌跡是以（$\frac{5}{2}$，0）為圓心，2為半徑的圓，
∴三角形ABC的面積的最大值為=$\frac{1}{2}×3×2$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、軌跡方程，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．